曲率贝塞尔：改进经典曲线的不朽配方

通过直接控制曲率而非切线长度，重新设计贝塞尔曲线编辑方式，使曲线编辑更直观稳定。

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贝塞尔曲线是计算机辅助设计（CAD）和计算机图形学的基石。就像 Bic 圆珠笔一样，这个设计已有数十年历史，却无处不在。在各类插画和动画工具中，它常常是默认甚至唯一的选择。它由 Paul de Casteljau 于 1959 年构思，后经 Pierre Bézier 在 1960 年代于雷诺公司完善，其持久魅力在于简单。尽管更复杂的曲线已被发明，新的也不断被提出，但它们往往局限于特定领域，如高精度 CAD 或道路设计。在通用场景中，贝塞尔曲线顽固地拒绝被取代，尽管它有诸多缺点。因此，贝塞尔曲线是我们似乎摆脱不了的“遗留技术”。作为软件工程师，我的问题是：我们能否在不废弃所有基于它构建的技术的前提下，让贝塞尔变得更好？答案是肯定的。

插值：贝塞尔的核心

绘制贝塞尔曲线是一个出奇简单且线性的过程（提示：文中所有图表都是可交互的）。给定一系列控制点，我们用线段连接它们，然后在这些线段上同时取点，产生新点，再连接，重复此过程直至只剩一个点，该点即落在曲线上。这种构造使贝塞尔比乍看起来更规则。线性插值（lerp）可总结为紧凑公式，例如四个控制点 $(A, B, C, D)$ 的三次贝塞尔：

$$ \gamma(t) = A(1-t)^3 + 3B(1-t)^2 t + 3C(1-t)t^2 + D t^3 $$

规则很简单：$(1-t)$ 的幂递减，$t$ 的幂递增，系数取自帕斯卡三角的第 n 行（例如 1,3,3,1）。对于 2D 和 3D 曲线，公式分别应用于 X、Y、Z 坐标。

虽然贝塞尔可构造任意数量的控制点，但实践中只用 4 个控制点的三次贝塞尔，因为曲线只保证穿过首尾控制点，高次贝塞尔更难塑形。更大曲线通常由多个三次贝塞尔段拼接而成，对齐切线以形成看似平滑的分段曲线——这就是常见的三次贝塞尔样条。大多数绘图应用中的“钢笔工具”实际上是在编辑控制点，而非直接绘制曲线。

一个到处流传的谎言

钢笔工具通常提供几种控制点模式：对称切线、非对称切线、单侧切线等。直觉上这些代表不同程度的平滑性：对称切线被认为最平滑，放松约束则损失部分平滑性。但实际上这是完全错误的，而且容易证明。

贝塞尔曲线可以被精确分割：通过从插值图中读出新的控制点，左段和右段与原始曲线 100% 一致，且总是在接缝处完美连接。然而，除了接近中点的一个分割点外，中间的切线将是不对称的。这可以通过曲率梳（curvature comb）来确认，它表示每个点的曲率半径的倒数。曲率梳保持连续，没有跳跃。这意味着相邻切线长度是否相等（即对称）完全无关紧要。试图用这种方式绘制平滑直观的贝塞尔曲线是徒劳的。

一个简单的改进是将切线视为相对值而非绝对值。例如，让切线长度与每个段的首尾距离成比例。这种样条更容易编辑，因为当你移动曲线点时，相邻段会自然弯曲让路，产生更少的尖点。然而，如果我们再次绘制曲率，会发现这不是一个好方案：按比例缩放切线不能保证编辑时曲率保持不变，也不能保证段间曲率连续。这也表明，向用户提供曲率梳可视化作为“有用工具”其实很刻薄：调整一端的曲率会影响另一端，需要反复来回调整直到接近目标。

直接处理曲率

更有效的策略是直接使用曲率。虽然这通常是一个难题，但这里存在一些令人惊讶的关系，我们可以直接观察：考虑段 $A-B-C-D$ 起始处的曲率，它只受 $A$、$B$、$C$ 的位置影响，点 $D$ 可以自由移动（若它与 $C$ 不连接）。此外，由于切线 $A-B$ 是水平的，只有 $C$ 的垂直位置起作用。这是底层线性插值的结果，最终在公式中抵消了许多项。因此，$A$ 处的曲率只受 $A-B$ 的长度和 $C$ 到 $A-B$ 的垂直距离影响。另一端的 $D$ 同理，只受 $C-D$ 长度和 $B$ 到 $C-D$ 的垂直距离影响。

但这本身并不太有用。当我们移动曲线点（$A$ 或 $D$）时，通常相邻控制点（$B$ 或 $C$）也会移动以保持切线。而且当我们旋转对称或非对称切线时，相邻段的切线也旋转相同角度，改变了那侧的曲率。尽管如此，这显示了保持曲率并非疯狂的想法，可以通过适当缩放切线简单实现。规则很简单：

• 移动曲线点时，必须保持相邻段的起始和结束曲率。
• 移动切线时，必须保持当前段对端曲率，以及相邻段两侧的曲率。

这应该产生一个尊重用户意图的编辑体验。但还不完全：移动曲线点效果很好，但旋转切线时，切线长度本身并不能很好代表用户意图。微小变化可能导致曲率巨大变化，曲线可能意外跳动和爆炸，因为它试图找到匹配解。因此，更好的做法是使用曲率手柄（curvature handles），其中手柄长度直接对应曲率。与曲率梳不同，手柄长度是非反转的曲率半径，这是更自然的选择。这些手柄非常稳定，可以即时转换为经典贝塞尔控制点，无需来回转换。这也有助于避免数值漂移。

求解切线长度

为了实现这一点，我们需要在给定所需曲率 $k_0$ 和 $k_1$、起点和终点 $A$ 和 $D$、以及起点和终点的单位切线向量的情况下，求解切线长度 $l_0$ 和 $l_1$。

给定曲线 $\gamma(t)$，单位切向量 $\mathbf{T}(t)$ 可表示为归一化导数：

$$ \mathbf{T}(t) = \frac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|} $$

曲率向量 $\mathbf{K}(t)$ 可通过两个向量叉积得到：

$$ \mathbf{K}(t) = \mathbf{T}(t) \times \frac{\gamma''(t)}{|\gamma'(t)|^2} \times \mathbf{T}(t) $$

叉积确保 $\mathbf{K}(t)$ 垂直于 $\mathbf{T}(t)$，其模长就是曲率。对于三次贝塞尔，我们可以写出 $\gamma'(t)$ 和 $\gamma''(t)$ 的显式公式，然后代入端点 $t=0$ 和 $t=1$，得到曲率与切线长度之间的关系。具体来说，在 $t=0$ 处，曲率 $k_0$ 与 $l_0$ 成反比，与 $C$ 到 $AB$ 的垂直距离成正比。类似地，$t=1$ 处曲率 $k_1$ 与 $l_1$ 成反比。

因此，给定目标曲率，我们可以解出 $l_0$ 和 $l_1$。由于曲率与长度成反比，解是直接的：$l_0 = \frac{\text{某常数}}{k_0}$，$l_1 = \frac{\text{某常数}}{k_1}$。这里的常数取决于其他几何量（如控制点位置和切线方向）。

实现与稳定性

在实际实现中，我们维护曲率手柄（长度代表曲率半径），而不是直接编辑切线长度。当用户拖动曲率手柄时，我们即时计算对应的贝塞尔控制点位置。由于曲率与长度成反比，手柄长度越大，曲率越小，这符合直觉。

为了保持数值稳定，我们避免来回转换，而是直接从曲率手柄计算出贝塞尔控制点。这减少了浮点误差的累积。此外，由于曲率手柄是全局的（每个曲线点都有两个手柄，分别控制两侧曲率），编辑时不会出现“调整一端影响另一端”的循环问题。

结论

通过将曲率作为编辑的直接对象，我们可以在不改变底层贝塞尔表示的前提下，显著改善编辑体验。这种方法保留了所有现有技术（如渲染、求值、分割等）的兼容性，同时让用户更直观地控制曲线形状。这展示了“遗留技术”也可以通过重新思考交互方式来进化，而非彻底替换。

原文链接：https://acko.net/blog/curvature-beziers/